Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c ∈ (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila
f (x) ≤ f (c) untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I yang memuat c. Titik c dalam hal ini
disebut sebagai titik maksimum lokal.
Nilai dan titik minimum lokal didefinisikan secara analog.
Gambar 10.1 f mencapai nilai maksimum lokal di c
Jika f (c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval (a, b), maka ten-
tunya f mencapai nilai maksimum lokal di c. Namun sebaliknya belum tentu benar,
nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimum f .
Contoh 1. Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinsikan sebagai
f (x) = x + 2, x < −1,
|x|, x ≥ −1.
Maka, f mencapai nilai maksimum lokal di −1, namun f (−1) = 1 bukan merupakan
nilai maksimum f pada R. Demikian pula f mencapai nilai minimum lokal di 0,
namun f (0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f pada R.
Teorema 2. Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) dan c ∈ (a, b). Jika f
mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c, maka f (c) = 0.
Bukti. Menurut definisi turunan,
f (x) − f (c)
x − c → f (c)
untuk x → c. Misalkan f (c) > 0. Menurut Soal Latihan 7.1 No. 4, terdapat suatu
δ > 0 sedemikian sehingga
f (x) − f (c)
x − c > 0 (1)
untuk x ∈ (c − δ, c + δ), x = c. Sekarang misalkan x ∈ (c, c + δ) sembarang. Maka,
x−c > 0 dan (1) memberikan f (x)−f (c) > 0 atau f (x) > f (c). Jadi f tidak mungkin
mencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya misalkan x ∈ (c − δ, c) sembarang.
Maka, x − c < 0 dan (1) memberikan f (x) − f (c) < 0 atau f (x) < f (c). Jadi f juga
tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c.
Hal serupa terjadi ketika f (c) < 0. Jadi, jika f (c) = 0, maka f tidak akan
mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.
Catatan. Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f (c) = 0, belum tentu f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.
