Geometri: Sebuah Contoh dari Suatu Ilmu Pengetahuan

Geometri sebagai Cita-cita Filosofi

"Metafisika selalu menjadi kera matematika," ditulis CS Peirce pada tahun 1891,¹ dan itu diketahui dengan baik bahwa Plato tidak mengakui seorang mahasiswa filsafat ke Akademi kecuali ia telah memiliki pelatihan dalam geometri.² Peirce menjelaskan persyaratan ini dengan melanjutkan: "Geometri mengusulkan ide dari sistem demonstratif  yang benar-benar prinsip filosofi yang pasti, dan ide-ide dari metafisika setiap saat menjadi bagian besar yang diambil dari matematika”.³ Ketika itu ditunjukkan dengan contoh geometri non-Euclidean yang bahkan aksioma geometri jelas dan bukan "kebenaran yang abadi," kepercayaan yang jelas prinsip-prinsip metafisika itu sangat terguncang. Peirce menulis: "aksioma metafisika adalah tiruan dari aksioma geometri, dan sekarang yang terakhir telah dibuang ke laut, tanpa ragu yang terdahulu akan dikirim setelah mereka".⁴

Tidak ada keraguan bahwa tingkat kepastian yang tinggi yang telah dicapai dalam geometri telah membawa harapan bahwa suatu kepastian yang mirip dapat dicapai pada bidang pengetahuan lain dan semua yag di atas, pada perpaduan semua ilmu pengetahuan, dalam filsafat. Reni Descartes,⁵ dalam metode tulisannya yang terkenal, sebuah menara penuntun pada awal filosofi modern (setelah 1600), menggambarkan secara tepat bagian yang dianggap berasal dari geometri sebagai petunjuk filosofi, jadi:

Rangkaian panjang dari pemikiran yang sederhana dan mudah dengan arti dari geometri diperoleh untuk mencapai kesimpulan dari demonstrasi yang paling sulit, telah membimbing saya untuk membayangkan bahwa segala sesuatu, untuk pengetahuan manusia yang kompeten, saling terhubung dalam cara yang sama, dan sejauh ini tidak ada yang menghilangkannya dari kita yang melewati pencapaian kita atau menyembunyikannya sehingga kita tidak dapat menemukannya,  asalkan saja kita menjauhkan diri dari menerima yang salah untuk menjadi benar, dan selalu mempertahankan pikiran kita urutan yang diperlukan untuk deduksi suatu kebenaran dari yang lain.⁶

sejak prosedur dalam geometri telah menghasilkan hasil yang lebih memuaskan dari itu dalam bidang ilmu pengetahuan lainnya, Descartes mengambil generalisasi dan memberikan empat "ajaran logika" yang akan membimbingnya dalam menemukan kebenaran. Dia menggambarkan ajaran ini sebagai berikut:

Yang pertama adalah tidak pernah menerima apapun sebagai kebenaran yang tidak saya ketahui dengan jelas untuk menjadi seperti itu; dengan kata lain, hati-hati untuk menghindari ajaran dan anggapan, dan terdiri tidak lebih dalam penilaian saya dari apa yang disampaikan ke pikiran saya sehingga jelas dan dengan jelas untuk mengecualikan semua kemungkinan alasan untuk ragu.⁷

 Untuk mengetahui sesuatu yang "jelas dan tegas" telah disebut "kriteria kebenaran Cartesian". Dalam substansi, tidak jauh berbeda dengan persyaratan Aristoteles bahwa prinsip-prinsip umum ilmu pengetahuan harus "dipahami" atau "intrinsik dapat diketahui," berbeda dengan kesan yang samar-samar yang "diketahui kepada kami" tetapi "intrinsik jelas" (lihat Bab 1).

Descartes melanjutkan: "Yang kedua, untuk membagi setiap kesulitan di bawah pemeriksaan ke dalam bagian sebanyak mungkin, dan diperlukan solusi yang memadai“.⁸  "ajaran kedua" Descartes ini juga secara jelas merupakan sebuah generalisasi dari metode yang sebenarnya digunakan oleh ahli ilmu ukur tersebut. Jika yang terakhir adalah untuk membuktikan dari aksioma geometri, dalil bahwa jumlah sudut segitiga adalah 180°, ia melanjutkan dengan langkah-langkah kecil, yang masing-masing sangat sederhana, kesimpulan logis yang tampaknya berlaku pada pikiran yang tidak terlatih. Cara ini dengan langkah-langkah kecil hanya apa yang diperlukan Descartes dalam “ajaran keduanya”.

Karakteristik geometri yang telah membuatnya menjadi contoh untuk semua ilmu pengetahuan, dan apalagi, untuk filsafat, dapat dengan mudah dirumuskan sebagai berikut: Ada dua jenis pernyataan dalam geometri, aksioma dan teorema. Hanya yang terakhir dapat dibuktikan dengan penalaran, sedangkan kebenaran dari aksioma-aksioma harus diakui bukan oleh penalaran tetapi dengan intuisi langsung, oleh mata pikiran atau apapun bisa disebut kemampuan. Konsep tentang geometri ini telah mengatur contoh untuk ahli filsafat dari berbagai masa. Pada awal filosofi modern, kita mempunyai kata-kata dari Blaise Pascal⁹ :

Pengetahuan pertama prinsip-prinsip kita, seperti ruang , waktu, gerakan, angka, sama dengan berbagai pengetahuan yang kita peroleh dengan pemikiran. Sebagai bahan kenyataan, pengetahuan ini disediakan oleh hati kita dan naluri kita dibutuhkan dasar di mana akal kita harus menemukan kesimpulan-kesimpulannya. . . . jika akal kita menyangkal persetujuan pada prinsip-prinsip pertama kecuali jika hati kita telah menyediakan sebuah demonstrasi, syarat ini akan menjadi konyol sebagaimana jika hati kita akan menyangkal persetujuan untuk semua demonstrasi kecuali jika dilaksanakan oleh  perasaan tambahan.

Bukan masalah seberapa luas celah antara perbedaan sistem filosofis, semua mempunyai dua kepercayaan umum. Pertama, ada dalil-dalil tentang fakta yang tampak yang kita tahu dengan pasti meskipun (atau mungkin karena) mereka tidak berdasarkan pengertian induksi. Kedua, sadar akan adanya dalil-dalil yang “dibuktikan” oleh contohnya dalil matematika. Dari dalil-dalil tersebut yang diketahui dengan pasti, dan kepastian ini tidak berdasarkan kenyataan-kenyataan empiris. Ada perbedaan yang besar antara teori filosofis¹¹ Jerman, Immanuel Kant, dan rasionis Perancis, ¹²Descartes. Kant, bagaimanapun, lebih menitikberatkan dengan tegas daripada Descartes atau Pascal poin bahwa kepercayaan pada kemungkinan dari “filosofi yang tepat” dari “metafisika”, yang terakhir berdasarkan pada contoh geometri yang dibuktikan dengan kehidupan belaka kemungkinan dari “prinsip-prinsip yang dapat dimengerti”. Untuk memahami pernyataan Kant, kita hanya harus memperhatikan apa yang ia maksud dengan sebuah “tiruan suatu penilaian dahulu” apa yang kita sebut dengan sebuah pernyataan tentang kenyataan-kenyataan yang tampak yang kita rasa dengan mata pikiran tanpa merasakan pengamatan yang sebenarnya, tetapi yang dapat dan seharusnya dicek secara ilmiah dengan perasaan pengamatan yang sebenarnya. Kant menulisnya dalam Pendahuluan untuk Berbagai Masa Depan Metafisika:¹⁴

Ini terjadi secara beruntung, walaupun kita tidak dapat menganggap metafisika sebagai ilmu pengetahuan yang sebenarnya, kita dapat menyebutnya dengan percaya diri bahwa kepastian murni sebuah kesadaran tiruan terdahulu, matematika murni, dan fisika murni, adalah sebenarnya dan diberikan; untuk kedua isi dalil-dalil yang sepenuhnya dikenal memang pasti. . . . dan masih sebagai pengalaman yang bebas. Kita mempunyai setidaknya sebuah pengetahuan tiruan terdahulu yang tidak ditentang dan tidak membutuhkan pertanyaan apakah itu menjadi mungkin untuk yang sebenarnya.

Jika kita mempertimbangkan pendapat umum dari sekolah filosofi, itu terlihat sebaiknya untuk meneliti geometri dari pendapat pokok ilmiah secara murni dan untuk menemukan apakah geometri sebenarnya terdiri dari satu sisi aksioma yang ditentukan oleh “intuisi seluruh dunia” dan di lain sisi, dalil-dalil yang secara logis diperoleh dari mereka. Sebagai bahan fakta, selama abad ke-19, ini adalah pendapat utama di sekitar metematikawan. Kita dapat mengamati ini dengan melihat ke dalam berbagai rata-rata buku pelajaran geometri.  Kita dapat memilih, sebagai contoh, W. W. Bemann dan D. E. Smith pada Bidang Baru dan geometri Mendalam tahun 1899.¹⁵ kita membaca: “ada beberapa pendapat geometri yang begitu jelas bahwa kebenaran geometri mungkin diambil dari pengakuan”. Pengarang membedakan , seperti Euclid, dua jenis “pernyataan-pernyataan jelas” aksioma dan dalil -dalil. Semua istilah filosofi mendalam dari Aristoteles dan Kant, sebutan “pada hakikatnya dapat dimengerti” dan “tiruan terdahulu” muncul dalam buku pelajaran ini di bawah penandaan yang tidak berbahaya dari “kejelasan” dan mungkin disepakati.

Sekitar tahun 1900, sebuah gambaran baru perkembangan geometri yang menghilangkan “filosofi dalam keadaan terisolasi” (“metafisika”) dari contoh, dan membuat reuni ilmu pengetahuan dan filosofi. Ini bukan sebuah kecelakaan yang sekitar pada waktu yang sama, muncul perubahan besar pada fisika, pembentukan teori utama relativitas dan quanta yang membutuhkan sebuah pokok  pembetulan dalam ide lama pada ilmu pengetahuan dan filosofi.